Exercícios sobre função cosseno

(ITA - 2004) Considere a função $\;f : {\rm I\!R} \rightarrow \mathbb{C}$, $f(x) = 2\;cosx + 2\;i\;senx$. Então, $\;\forall \; x, y \; \in \; {\rm I\!R}\;$, o valor do produto $\;f(x)f(y)\;$ é igual a:

$f(x + y)$

$2f(x + y)$

$4\;i\;f(x + y)$

$f(xy)$

$2f(x) + 2\;i\;f(y)$

resposta: (B)
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Calcular o valor de m que satisfaz simultaneamente as igualdades:
$\,\,$$\phantom{XXXX}\operatorname{sen}x\,=\,\dfrac{m\sqrt{3}}{3}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\operatorname{cos}x\,=\,\dfrac{\sqrt{6m}}{3}\phantom{X}$

-3 ou 1

1 ou 3

$\phantom{X}\phantom{X}$

resposta: alternativa C
Resolução:
Sabemos que $\,\operatorname{sen}^{\large 2}x\,+\,\operatorname{cos}^{\large 2}x\,=\,1\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \,$. Então:
$\phantom{X}\left(\dfrac{m\sqrt{3}}{3} \right)^2\,+\,\left( \dfrac{\sqrt{6m}}{3} \right)^2\,=\,1\;\Leftrightarrow\;\dfrac{3m^2}{9}\,+\,\dfrac{6m}{9}\,=\,1\phantom{X}$
$\phantom{X}\Leftrightarrow \dfrac{m^2}{3}\,+\,\dfrac{2m}{3}\,=\,1\;\Leftrightarrow \;m^2\,+2m\,-3\,=\,0\;\Rightarrow\;\left\{ \begin{array}{rcr} m\,=\,-3 \\ \mbox{ou}\phantom{XXX} \\ m\,=\,1\phantom{X} \\ \end{array}\right.\phantom{X}$
Observar que m = -3 não serve, portanto m = 1
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Para que valores de $\,m\,$ é possível a igualdade $\,\operatorname{cos}x\,=\,1 + 3m\,$?

resposta:

$\,-\dfrac{2}{3}\,\leqslant\,m\,\leqslant\,0\,$
Resolução:
O valor de um cosseno está sempre entre -1 e 1 inclusive.
$\phantom{XXXX}-1\,\leqslant\,cosx\,\leqslant\,1\;\Rightarrow\;$
$\phantom{XX}\Rightarrow\; -1\,\leqslant\,1\,+\,3m\,\leqslant\,1\;\Rightarrow\,\phantom{X}$
$\phantom{XX}\Rightarrow\;-2\,\leqslant\,3m\leqslant\,0\;\Longrightarrow\;$

$\;\boxed{\;-\dfrac{2}{3}\,\leqslant\,m\,\leqslant0\;}\phantom{X}$
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(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.

Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.

Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.

Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.

resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$
b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$
c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD)
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Determinar o conjunto domínio, o conjunto imagem e o período da função $\phantom{X}y\,=\,2\,+\,3\operatorname{cos}\left(2x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)\phantom{X}$.

resposta: domínio: $\,\mathbb{D}\,=\,{\rm\,I\!R}\,$ - imagem: $\,Im\,=\,\left[\,-1;\,5\,\right]\,$ - período: p = π
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Construir o gráfico da função $\,f\,:\,{\rm I\!R}\rightarrow\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\phantom{X}f(x) = 1 + \operatorname{cos}\left(\,2x\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\phantom{X}$

resposta: